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Temario Solalto 2009 Wiki

Matemáticas

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Profesor: Luis Miguel SamayoaEditar sección

A CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ARITMETICA Y ÁLGEBRA

A.1 Cálculo proposicional :Proposiciones simples, compuestas y tablas de verdad

El cálculo proposicional, junta dos cálculos de predicados con la consftitución de símbolos lógicos. La lógica proposicional es la parte de la lógica que estudia las formas en que se relacionan unas proposiciones con otras y la relación que se da entre las proposiciones que componen un razonamiento.


Proposiciones

Las proposiciones son una sentencia declarativa, o reglas las cuales tienen valores de verdad, una proposición puede tener dos valores, verdadero o falso. Pero no ambos, verdadero y falso, y tampoco pueden no tomar ningún valor. Una proposición es un hecho. Las proposiciones son portadoras de veracidad y falsedad. La rama de la lógica se conoce como símbolos lógicos empleando letras de variables minúsculas, variables proposicionales, p, q, r, s, para expresar proposiciones.

Proposiciones simples o hechos

Las siguientes son proposiciones simples las cuales son verdaderas:

1. El cielo es azul

2. La nieve es fría


Las siguientes proposiciones simples son falsas:

1. 8+99=231

2. Los Insectos crean su comida a través de fotosíntesis


Las siguientes son proposiciones no validas:

1. Él es un vendedor-> Esta no es una proposición porque "Él" no esta definido. Como un resultado no hay manera de verificar la sentencia y asignarle un valor de verdad.

2. Las cosas buenas vienen en pequeños paquetes - > Este tipo de declaración expresa una idea subjetiva o concepto el cual no puede ser verificado en términos de verdadero o falso.

3. 12 + x = 16-> No es una proposición porque "x" es una variable indefinida, al menos que a x se le asignen valores, hasta entonces se puede verificar el valor de verdad o falsedad de la proposición.


Proposiciones compuestas

Las proposiciones son expresadas a través de variables (p, q, r, s). Conectivos lógicos y operadores establecen relaciones entre dos o más proposiciones. La función principal de los operadores es la de formar una nueva proposición de una o más proposiciones. Así las declaraciones compuestas o proposiciones son formadas.


Tablas de verdad


La Negación La operación unitaria de negación, no es cierto que se representa por “¬” y tiene la siguiente tabla de verdad de verdad si p es V entonces q es F.

La conjunción de las proposiciones p, q es la operación binaria que tiene por resultado p y q, se representa por p^q

La disyunción de dos proposiciones p, q es la operación binaria que da por resultado p ó q, notación p v q

Con la disyunción a diferencia de la conjunción, representamos dos expresiones y que afirman que una de las dos es verdadera, por lo que basta con que una de ellas sea verdadera para que la expresión p v q sea verdadera.

La condicional de dos proposiciones p, q da lugar a la proposición; si p entonces q, se representa por p → q

Con respecto a este operador binario, lo primero que hay que destacar es que no es conmutativo, a diferencia de los dos anteriores la conjunción y la disyunción. El único caso que resulta falso es cuando el primero es verdadero y el segundo falso. La bicondicional de dos proposiciones p, q da lugar a la proposición; p si y sólo si q, se representa por p ↔ q


A.2 Formas de representar un conjunto: Enumerativa y Descriptiva

Forma enumerativa o por extensión

En esta forma se deben nombrar todos los elementos que conforman el conjunto. Ejemplo

A= { 1,2,3,4,5,6,9,8,9,10}


Forma descriptiva

Esta forma se debe nombrar una característica que me identifique a todos los elementos del conjunto, para nuestro conjunto A podría ser


A={x/x números del uno al diez}


A.3 Operaciones con Conjuntos: Unión, Intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento Forma enumerativa y diagrama de Venn.

Cuando dos conjuntos, A y B son iguales, es porque tienen los mismos elementos en ellos. Cuando esto sucede, se puede decir que: A=B.

Unión Cuando existe un conjunto de referencia R, y conjuntos A y B, se puede definir un conjunto de unión entre ambos, el cual se representa como A U B. como ejemplo, utilizamos el siguiente conjunto: A U B = {x Є R / x Є A o x Є B}

Intersección Cuando existe un conjunto de referencia R, y conjuntos A y B, se puede definir un conjunto de intersección entre ellos, cuando el conjunto está formado por elementos que forman parte de A y de B. Esto se representa como A η B. Como ejemplo utilizaremos el siguiente conjunto: A η B = { x Є R / x Є A y x Є B}

Diferencia Cuando existen los conjuntos A y B, y existe una diferencia entre ellos, se puede definir un conjunto de A – B, como se ejemplifica en el siguiente conjunto: A - B = {x Є R/x Є A y x ‪Ɇ B}

Diferencia simétrica Cuando existen los conjuntos A y B, se puede definir una diferencia simétrica entre ellos. Esto se representa como A ▲ B, como en el siguiente ejemplo: A ▲ B = (A-B) U (B-A)

Bibliografia http://www.satd.uma.es/matap/personal/garvin/04Alg02.pdf http://econtinua.uisrael.edu.ec/

A.4 Números Reales operaciones básicas (Suma, resta, multiplicación y división) no usar calculadora.

En la recta numérica, para cada punto, existe un número real y se representan por símbolos cómo 25, 0, -3, ½, -5/4, 0.125, π , √2, ∛(-2), 0.66666…

Suma: Se pueden sumar números positivos así como también se pueden sumar los números negativos. Si ambos números son positivos o ambos negativos, se sumaran los valores absolutos y el resultado tendrá el mismo signo que los sumandos. Cuando se da el momento en que los números tienen signos distintos entre sí, se restaran los valores siendo el signo de la suma el signo del sumando con el mayor valor absoluto. Tómese por ejemplos:

-5 + (-9) = -14 Se suman los valores absolutos siendo la suma negativa

23 + (-11) = 1 Se restan los valores absolutos poniendo el signo del número con mayor valor absoluto

-9.2 + 3.1 = El sumando negativo tiene un mayor valor absoluto

Resta: También llamada sustracción, la resta se define con los mismos términos de la adición o suma. La sustracción y la adición son operaciones inversas.

Todo número real tiene un inverso aditivo u opuesto, donde este es aquel número qué, al ser sumado con ese mismo número, el resultado es igual a 0. El inverso aditivo de a es –a.

El número que se resta o se sustrae se le llama sustraendo. Para efectuar esta operación de sustracción podemos cambiar el signo del sustraendo y sumar el resultado al otro número. Se resta añadiendo un inverso aditivo, por ejemplo:

5 – (-4) = 5 + 4 = 9 Añadiendo el inverso del sustraendo, o cambiando el signo y sumando.

Multiplicación: a la hora de multiplicar dos valores siempre se multiplican los valores absolutos de ambos, y por último, para determinar el signo del resultado o producto, se toman en cuenta las siguientes leyes:

    Si ambos tienen el mismo signo, ya sea positivo o negativo, el producto es positivo.
    Si uno de los productos es negativo y el otro positivo, el producto es negativo.

Se dan los siguientes ejemplos:

    5 x 5 = 25
    5 x (-5) = -25

División: Cualquier número real que no sea cero tiene un inverso multiplicativo llamado recíproco que es el número que al multiplicarlo por él, nos da como producto el número 1.

Para encontrar el recíproco de cualquier número dividimos 1 por ese número. El recíproco de un número negativo también es negativo.

Al igual que la suma y la resta son inversos, igualmente la multiplicación y la división también los son ya que la división se define en términos de la multiplicación.

Cuando se divide dos números reales, dividimos sus valores absolutos utilizando las siguientes reglas para determinar el signo del producto:

Si ambos tienen el mismo signo, ya sea positivo o negativo, el producto es positivo.

Si uno de los productos es negativo y el otro positivo, el producto es negativo.

Se dan los siguientes ejemplos:

(-10)/2=-5

(-5.5)/(-5.5)=1

Bibliografía:

Smith, et al; Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica. 1a edición. Addison Wesley

Stewarr, Redlin, Watson, Méxzco; Precálculo 3a edición. Editorial Thomson. 2001

A.5 Expresiones algebraicas

Expresión algebraica Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.



A.6 Exponentes y radicales

• Exponentes y Radicales:

La matemática es el estudio de las propiedades y las relaciones de entes abstractos a partir de notaciones básicas exactas y a través del razonamiento lógico. Dicho estudio tiene como consecuencia el uso de reglas para la realización de cada proceso, los exponentes y radicales son términos con los cuales se desarrollan operaciones para tener como punto final una respuesta concreta.

Exponente: se refiere al termino matemático que tiene como función el indicar el numero de veces que una cantidad se debe de multiplicar por si misma.

El exponente de un número se indica por medio de un número o letra que es colocado en la parte superior derecha de dicho numero. Por ejemplo: 23= 8, esto quiere decir que: 2x2x2= 8, el 3 es el numero que indica por cuantas veces el: 2 debe de ser multiplicado. El término exponente conlleva a la utilización de varias reglas para el correcto funcionamiento del numero o letra al que se esta elevando, por ejemplo:

• aman = am+n • (am)n = amn • a-n= 1/an siempre que a ≠ Ø • a0 = 1 • (a/b)n = an/bn • am/an = am-n

Radicales: el término radical tiene como significado la base o raíz de alguna cosa, refiriéndose al estudio matemático,Radical es el número entero de una operación matemática. Los exponentes tienen una estrecha relación con los radicales, ya que el número al que se eleva el exponente es el radical.

Exponentes.jpg ====

Funciones lineales, pendiente e intersección.jpg
== Bibliografía: ==


http://html.rincondelvago.com/radicales_2.html

http://www.monografias.com/trabajos10/radic/radic.shtml

http://es.encarta.msn.com/encyclopedia_761561812/Exponente.html

http://ramiola.wordpress.com/2008/07/24/reglas-de-los-exponentes/


A.7 Simplificación de expresiones algebraicas

Tema: Evaluación y Simplificación de Expresiones Algebraicas Descripción: Una expresión algebraica es un valor desconocido compuesto por letras, números y/o símbolos matemáticos para representar sumas (+), restas (-), multiplicación (×) o división (÷). Un número solo o una letra sola se consideran una expresión algebraica. Podemos tener una expresión verbal y traducirla a una expresión algebraica o simbólica. Podemos evaluarla si los valores numéricos de las variables son conocidos. Podemos simplificarlas utilizando algunas de las siguientes propiedades: conmutativa, asociativa, identidad, inverso, y distributiva.


A.8 Operaciones básicas con monomios y polinomios

Polinomio: Es la suma de dos o mas monomios. Con los polinomios se pueden hacer operaciones de Suma, Resta, Multiplicación y División.


Monomio: Es una expresión algebraica en donde aparece el producto de un numero por varias variables elevadas a potencias de exponentes naturales. Con los monomios se pueden hacer operaciones de Suma, Resta, Multiplicación y División.


Operaciones Básicas con Monomios

Para sumar o restar monomios es indispensable que sean semejantes por ejemplo:

Este es un ejemplo claro de una resta de monomios y se puede ver que las variables deben ser semejantes. Lo mismo sucede con la suma de monomios.


Para multiplicar monomios, se multiplican los coeficientes de cada uno de los monomios y las potencias con las mismas bases se copian y se suman los exponentes.

En este ejemplo se puede ver claramente que solamente se copia la base y los exponentes se suman.

Para la división de monomios se dividen los coeficientes y se restan los exponentes. Por ejemplo:

Operaciones básicas con Polinomios


Para dividir monomios se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de las potencias que tienen la misma base. Es indispensable que las variables que estén en el denominador también estén en el numerador, de no ser así no se puede efectuar la operación.

Para multiplicación polinomios se multiplican los monomios de uno de los polinomios por todos los monomios del otro polinomio, y luego se suman los términos semejantes de los polinomios obtenidos de esas multiplicaciones. Como se puede verificar en el siguiente ejemplo:

Para la división de polinomios se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor y luego se escriben las variables en orden alfabético elevando cada variable según la resta de sus potencias copiando únicamente la base. Como se puede verificar en el siguiente ejemplo:


Para la suma o resta de polinomios únicamente hay que restar o sumar los monomios que sean semejantes. Como por ejemplo: (3x2+2x) + (4x2+3x) = 7x2+5x.

Bibliografia: www.google.com , “Algebra y trigonometría analítica”


A.9 Productos notables y factorización

Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.

Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente.

Factor común

El resultado de multiplicar un binomio a+b con un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

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Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio


Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Es decir:


Foto mate 3.jpg

se conoce como trinomio cuadrado perfecto.

Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:

Foto mate 4.jpg

Producto de dos binomios con un término común

Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma el cuadrado del término común con el producto el término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.

Foto mate 5.jpg

Producto de dos binomios conjugados

Dos binomios conjugados son aquellos que sólo se diferencien en el signo de la operación. Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos, obteniendo una diferencia de cuadrados:

Foto mate 6.jpg

Binomio al cubo o cubo de un binomio

Para calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del primer término, con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.

Foto mate 7.jpg

Cuando la operación del binomio es resta, el resultado es: el cubo del primer término, menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término.

Foto mate 8.jpg

Polinomio al cuadrado

Para elevar un polinomio con cualquier cantidad de términos, se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.

Foto mate 9.jpg



B ECUACIONES Y DESIGUALDADES

B.1 Ecuaciones lineales y sus métodos de solución

Las ecuaciones lineales son denominadas las ecuaciones algebraicas más básicas. Cómo ya sabemos, las ecuaciones son “igualdades”.

Una ecuación tiene dos partes o expresiones separadas por el signo que indica la igualdad (=), una del lado derecho y la otra del lado izquierdo. Normalmente las ecuaciones tienen una variable o incógnita, por ejemplo:

2x – 3 = 5 + x

En este caso, la variable es la x. Llamamos ecuaciones equivalentes a un conjunto de ecuaciones que tienen exactamente las mismas soluciones. Lo que trataremos de hacer es resolver la ecuación hallando todas las soluciones de la misma. A la hora de resolver una ecuación encontraremos con expresiones algebraicas como polinomios, expresiones racionales, radicales y entre otras.

Para encontrar el resultado de la variable de la ecuación, tendremos que simplificarla hasta dejar sola a la variable de un lado, y del otro, al número que será el valor de la incógnita. Para hacer esto, existen muchos procedimientos, entre ellos se encuentran los siguientes:

• Podremos sumar, restar, multiplicar o dividir de ambos lados la ecuación.

El método más efectivo para encontrar la variable en una ecuación lineal algebraica consiste en primero eliminar los paréntesis, después tendríamos que agrupar los términos semejantes después de eliminar los denominadores, y por último, el 4to y el 5to paso consisten en despejar la variable y comprobar la solución.

Bibliografía:

http://personal5.iddeo.es/ztt/pra/T2_Ecuaciones.htm

• Smith, et al; Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica. 1a edición. Addison Wesley

• Stewarr, Redlin, Watson, Méxzco; Precálculo 3a edición. Editorial Thomson. 2001


B.2 Ecuaciones cuadráticas y sus métodos de solución

Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c son números reales.


Por ejemplo


Hay tres formas de hallar las raíces de las ecuaciones cuadráticas:

1. Factorización Simple La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.


2.Completando el Cuadrado Completando el Cuadrado: En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.


3. Fórmula Cuadrática Fórmula Cuadrática: Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:


B.3 Sistemas de ecuaciones con dos y tres incógnitas y sus métodos de solución.

Sistemas de ecuaciones con dos y tres incógnitas y sus métodos de solución. Método de Igualación Consiste este método en hallar el valor de la misma incógnita, en función de otra, en ambas ecuaciones, e igualamos los resultados. Pasos para resolver este método. • Despejamos a x en ambas ecuaciones. • 4x-6y = -20 • 2x+4y = 32 • 4x-6y = -20 2) 2x+4y = 32 X = 20+6y X = 32-4y 4 2 • Igualamos los valores de las dos X y multiplicamos por el dividiendo de cada uno en viceversa. -20+6y = 32-4y 2(-20+6y) = 4(32-4y) 4 2 -40+12y =128-16y • Agrupamos los términos semejantes y factorizamos hasta encontrar a Y. -40+12y = 128-16y 16y+12y = 128+40 28y = 168 28 28 Y = 6 • Para encontrar a X, cojeemos una de las ecuaciones y sustituimos la letra correspondiente ósea Y por su valor encontrado, luego multiplicamos, agrupamos términos y factorizamos. 2x+4y =32 2x+4(6) = 32 2x+24 = 32 2x = 32-24 2x = 8 2 2 X = 4 Conj. Solución es (6,4)

Método de Sustitución Consiste en despejar una incógnita, en función de otra, en una de las ecuaciones y sustituir el valor en otra letra. Paso para resolver por este método. • Despejar a X de la ecuación, de cual quiera de las ecuaciones. 8x+7y = 82 X = 82-7y 6x-5y = 0 8 • Sustituimos a X de la segunda ecuación por lo despejado y multiplicamos por el primer valor ósea 6. 6x-5y = 0 6(82-7y)-5y = 0 8 492-42y-5y = 0 8 • Ahora dividimos 492-42y por su dividiendo y los otros números se le agregan un 1y se divide. 492-42y-5y = 0 8 492-42y-5y = 0 8 1 1 61-5y-5y = 0 • Agrupamos términos semejantes y factorizamos hasta encontrar el valor de Y. 61-5y-5y = 0 -5y-5y = 0-61 10y = -61 10 10 Y = -6 5- Para encontrar a X, cojeemos una de las ecuaciones y sustituimos la letra correspondiente ósea Y por su valor encontrado, luego multiplicamos, agrupamos términos y factorizamos. 6x-5y = 0 6x-5(-6) = 0 6x+30 = 0 6x = 0-30 6x = -30 6 6 Y = -5 Conj. Solución es (-6,-5)

Método de Reducción Método de reducción, uno de los métodos para resolver sistemas de ecuaciones. Si el sistema es de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, este método consiste en procurar que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en las dos ecuaciones para que, al restarlas miembro a miembro, se elimine dicha incógnita, dando lugar a una ecuación con una única incógnita. Pasos para resolver por este método. 1- Pasar los dos primeros valores de la ecuación al final de la ecuación multiplicando en viceversa y el primer valor pasa negativo. 6x-7y = 5 6x-7y = 5 (-8) 8x-9y = 7 8x-9y = 7 (6) 2- Ahora multiplicamos por los números escogidos la ecuación, después eliminamos los términos semejantes y ahora sumamos o restamos según los signos. Después de eso hacer media factorisación. 6x-7y = 5 (-8) 8x-9y = 7 (6) -48x+56y = -40 48x -54y = 42 -48x+56y = -40 48x -54y = 42 2y = 2 2 2 Y = 1 3- Para encontrar a X, cojeemos una de las ecuaciones y sustituimos la letra correspondiente ósea Y por su valor encontrado, luego multiplicamos, agrupamos términos y factorizamos.

Método de reducción con 3 incógnitas Paso para resolver por este método. 1- Cojeemos las dos primeras ecuaciones y hacemos lo mismo que en el método de reducción de dos incógnitas hasta encontrar una ecuación de dos incógnitas. X+3y-z = 7 I 4x+6y-8z = -6 II 3x-y+2z = 11 III I x+3y-z = 7 x+3y-z = 7 (-4) II 4x+6y-8z = -6 4x+6y-8z = -6 -4x-12y+4z = -28 4x+6y-8z = -6 -6y-4z = -34 -6y-4z = -34 IV 2- Coger la primera ecuación y la tercera y hacer los mismo que el primer paso. I x+3y-z = 7 x+3y-z = 7 (-3) III 3x-y+2z = 11 3x-y+2z = 11 -3x-9y+3z = -21 3x-y+2z = 11 -10y+5z = -10 -10y+5z = -10 V 3- Ahora juntamos las dos ecuaciones nuevas ósea la ecuación IV y la V y hacer lo mismo que el paso uno y dos solo que vamos a Terminal haciendo una ecuación para encontrar a Z. -6y-4z = -34 -6y-4z = -34 (10) -10y+5z = -10 -10y+5z = -10 (-6) -60y-40z = -340 60y-30z = 60 -70z = -280 70 70 Z = 4 4- Ya tenemos a Z ahora tenemos que encontrar a Y cogiendo una de las ecuaciones que hicimos de dos incógnitas y sustituir a Z por su valor hallado, hasta hacer una ecuación y encontrar a Y. -6y-4z = -34 -6y-4(4) = -34 -6y-16 = -34 -6y = -34+16 -6y = -18 -6 -6 Y = 3 5- Ya tenemos a Y ahora vamos a encontrar a X, cogiendo una de las ecuaciones de tres incógnitas y sustituir las letras Z y Y por sus valores encontrado y hacemos una ecuación hasta encontrar a X. X+3y-z = 7 X+3(3)-4 = 7 X+9-4 = 7 X = 7-9+4 X = 2 Conj. Solución es (2, 3,4)'

Método de Sustitución con 3 incógnitas Paso para resolver por este método 1- Despejar una letra de la primera ecuación en este casa despejaremos a Z, después de despejada coger la segunda ecuación y sustituir la letra por el valor de la ecuación despejada. 3x-y+2z = 3 I X-y+z = -1 II X+2y-z = 8 III I 3x-y+2z = 3 2z = -3x+y+3 Z = -3x+y+3 2 II -x-y+z = -1 x-y+ (-3x+y+3) = -1 2 2-Ahora multiplicamos lo de el paréntesis con el primer valor que esta al principio de los paréntesis, luego de eso dividir por el dividiendo (si un valor no tiene dividiendo se le pone un 1) y terminar haciendo una ecuación hasta encontrar el valor de una letra. (Ay que eliminar los términos semejantes). x-y+ (-3x+y+3) = -1 2 x-y+ (-3x+y+3) = -1 2 1 x-y-3x+y+3 = -2 x-3x-y+y = -2-3 -2x = -5 -2 -2 X = 2.5 3- Cojeemos la tercera ecuación y hacemos lo mismo que el segundo pasó, hasta encontrar una ecuación de dos incógnitas. X+2y-z = 8 X+2y-(3x+y+3) = 8 2 X+2y-(3x+y+3) = 8 M.C.M. (2) 2 1 x+2y+3x-y-3 =16 X+3+2y-y = 16+3 4x+y = 19 4- Ahora sustituir la X de la ecuación nueva por la X encontrada y luego hacer una factorisacion hasta encontrar a Y. 4x+y = 19 4(2.5)+y = 19 10+y = 19 Y = 19-10 Y = 9 5- Ahora para encontrar a Z debemos coger una de las ecuaciones de 3 incógnitas y sustituir las letras por sus valores y hacer una ecuación hasta encontrar Z. x-y+z = -1 2.5-9+z = -1 -6.5+z = -1 Z = -1+6.5 Z = 5.5 Conj. Solución (5.5, 9, 2.5)


B.4 Problemas de aplicación con ecuaciones lineales, cuadráticas y sistemas de ecuaciones

Aplicaciones de Ecuaciones Lineales Para resolver problemas verbales se hace esto

  • Leer el problema cuidadosamente para ver exactamente lo que se está buscando.
  • Asignar variables a las cantidades que se quieren encontrar. la mayoria de veces se utilizan las variables x y n.
  • Utilizar los datos dados para hacer una ecuación con las variables de los valores desconocidos.

Ejemplos:

Ecuaciones en Forma Cuadrática

Algunas ecuaciones que no son necesariamente cuadráticas, pueden resolverse por los métodos de factorización o por la fórmula cuadrática, si primero se utiliza una sustitución apropiada. Como por ejemplo:

Susti.gif

Sistema de ecuaciones Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas. Una solución para el sistema le tiene que dar un valor para cada incógnita, asi en ninguna de las ecuaciones del sistema se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.

B.5 Desigualdades lineales, Gráfica e intervalo de solución

Una desigualdad se define como una comparación entre dos proposiciones en la cual una de las dos es mayor que la otra. A diferencia de la igualdad en la que ambas deben tener el mismo valor. La forma de trabajar las desigualdades es exactamente igual a las igualdades con dos excepciones:

                    a.	Excepción 1: al momento de multiplicar por un valor negativo toda la proposición la desigualdad cambia de ser mayor que a menor que y viceversa.
                    b.	Excepción 2: al momento de dividir por un valor negativo toda la proposición la desigualdad cambia de ser mayor que a menor que y viceversa.

Para presentar los resultados no se coloca un valor exacto sino se presenta un rango de posibles respuestas.

Desigualdades lineales en dos dimensiones: esta relaciona la variable x con y teniendo como resultado una área en un plano cartesiano en el cual todos los puntos mencionados son posibles respuestas para x y y.

B.6 Desigualdades con valor absoluto Gráfica e intervalo

Desigualdades con valor absoluto

En general, para resolver desigualdades con valor absoluto Debemos utilizar las propiedades y métodos aprendidos anteriormente (sumas, resta, multiplicación y división). Básicamente, el conjunto solución de una Desigualdad con valor absoluto debe ser calculado utilizando dos posibilidades (Por definición de valor absoluto) que cumplan con lo establecido, ejemplo: Si x > k, donde k > 0, entonces en el conjunto solución se incluyen todas las Coordenadas en la línea que son mayores de k unidades del origen.

Grafica

Una gráfica es la representación de datos, generalmente numéricos, mediante líneas, superficies o símbolos, para ver la relación que esos datos guardan entre sí. También puede ser un conjunto de puntos, que se plasman en coordenadas cartesianas, y sirven para analizar el comportamiento de un proceso, o un conjunto de elementos o signos que permiten la interpretación de un fenómeno.

Intervalo

En análisis, se denomina intervalo a todo subconjunto conexo de la recta real. Más precisamente, son las únicas partes I de R que verifican la siguiente propiedad.

Para representar intervalos, usan habitualmente dos notaciones, por ejemplo, para representar el conjunto de los x tal que a ≤ x < b se puede representar [a; b) o bien [a; b]. La regla del corchete invertido resulta más intuitiva si uno se imagina que el corchete es una mano que tira hacia fuera o empuja hacia dentro, respectivamente, un extremo del intervalo. En el ejemplo anterior, a pertenece al intervalo mientras que b no.

Bibliografía:

http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1tica)

http://fernandezblanco.javier.googlepages.com/crono_mate1_grado.pdf


B.7 Desigualdades cuadráticas Grafica e intervalo de solución

Las desigualdades cuadráticas son aquellas en las que la variable está elevada al cuadrado. Para resolverlas se deja al lado derecho de la desigualdad únicamente con el valor de 0, si es que no está; después de ello se factoriza la expresión del lado izquierdo ( si no se factoriza directamente use fórmula general ). Una vez factorizada la expresión del lado izquierdo, podemos tener las siguientes situaciones donde

( x+R1 )( x-R2 )

son los factores.

Existen dos diferentes tipos soluciones para las desigualdades cuadráticas, las cuales las explicaré a continuación:

a).- Si la desigualdad es del tipo "mayor que", ambos factores deben ser positivos o ambos negativos para que al multiplicarlos dé una cantidad positiva. osea;

( x+R1 )( x+R2 )> 0


Si [(x+R1)>0 y (x+R2)>0]ó[(x+R1)<0 y ( x+R1)< 0]


b).- Si la desigualdad es del tipo "menor que" los factores deben ser de signo contrario, osea uno negativo y otro positivo. Es decir:


( x + R1 )( x + R2 ) < 0


Si [(x+R1)<0 y (x+R2)>0]ó[(x+R1)>0 y ( x + R2)<0]

Ejemplos:

(x)(x) - 9 > 0

( x - 3 )( x + 3 )>0

CASO 1

x - 3> 0 y x + 3 > 0

x > 3 y x > -3

Es el intervalo: ( 3, infinito )

CASO 2

x - 3 < 0 y x + 3 < 0

x < 3 y x < -3

Es el intervalo ( -infinito, -3 ) La solución total será la unión de las soluciones de los dos casos: ( - infinito, -3 ) U ( 3, infinito )


B.8 Desigualdades racionales Gráfica e intervalo de solución

Para resolver una desigualdad, o también llamada inecuación, hay que hallar el conjunto de valores que hacen verdadera la desigualdad.

Se difiere de una ecuación en que una desigualdad no solo tiene un número limitado de soluciones sino que puede tener un infinito número de soluciones.

Estas desigualdades se difieren a las desigualdades lineales con constantes en el denominador.

Al tratar de resolver (x-4)/(x-3) >0, la primera preferencia podría ser despejar el denominador multiplicando ambos lados de la desigualdad por x-3. Con las ecuaciones, éste método es adecuado, siempre y cuando recordemos que x≠3. Sin embargo, con las desigualdades necesitamos saber si el multiplicador, x-3 es positivo o negativo para determinar si el símbolo de la desigualdad debe o no inventarse. Se puede analizar caso por caso ,pero has más sencillo tomar este problema de una forma similar a la que se utiliza en las desigualdades cuadráticas, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Resolver las siguientes desigualdades.

I. (x-4)/(x-3) >0

II. (2x-1)/(x-5) ≤2

Solución I.

Para resolver el I., se necesitan determinar los valores de x que hacen positivo a (x-4)/(x-3).

Para que el cociente sea positivo, el numerador y el denominador deben tener el mismo signo. Ahora podemos definir los puntos de corte de una expresión racional como el valor o valores donde el numerador es 0 o donde el denominador es 0.

(x-4)/(x-3) >0

Los puntos de corte son 4 (donde el numerador es 0) y 3 (donde el denominador es 0).

Trazamos los puntos de corte en la recta numérica y realizamos el análisis de signos para obtener la siguiente figura.

Fuente: http://books.google.com.gt/books?id=84mjXNXuZKEC

La solución es (-∞,3) U (4,∞)


Solucion II.

Primero se debe escribir esta expresión en la forma R≤0, donde R es una expresión racional, antes de poder aplicar el análisis de signos:


(2x-1)/(x-5) ≤2 Obtenemos 0 del lado derecho.

(2x-1)/(x-5)-2≤0 Expresamos el lado izquierdo como una sola fracción.

(2x-1)/(x-5)- (2(x-5))/(x-5)≤0

(2x-1-2(x-5))/(x-5)≤0 Que se convierte en

9/(x-5)≤0 Existe un único punto de corte: 5.

Fuente: http://books.google.com.gt/books?id=84mjXNXuZKEC

Se exluye x=5. Por lo tanto, la respuesta es (-∞,5)

Bibliografía http://www.utpl.edu.ec/ecc/wiki/index.php/Àlgebra

http://books.google.com.gt/books?id=84mjXNXuZKEC&pg=PA77&lpg=PA77&dq=desigualdad+racionales+ecuaciones+y+desigualdades&source=bl&ots=Sflwu8hfeN&sig=T9D1_YaM66eAjLopmnENc182TRE&hl=es&ei=5uuJSpnvKtDdlAe73ZXpDA&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=9#v=onepage&q=&f=false



B.9 Problemas de aplicación con desigualdades

Problema de aplicación con desigualdades.

(publicación de revistas) El costo de publicación de cada ejemplar de la revista semanal "comercio ht" es de 35 centavos. los ingresos por ventas de distribución son de 30 centavos por ejemplar, y los ingresos por publicidad del 20% sobre los ingresos obtenidos por ventas mas allá de los 2000 ejemplares. ¿Cuantos ejemplares deberá publicar y vender cada semana para obtener ingresos semanales de al menos $1000?

los ingresos por publicidad corresponden a a) 20% de los ingresos por ventas de todas las revista, siempre que el número de revistas vendidas sea superior a 2000 ejemplares o b) 20% de los ingresos por ventas desde el ejemplar 2001 al total de ejemplares vendidos.

Lo que está claro es que si vende menos de 2000 ejemplares, no hay ingresos de publicidad. Y (como el ingreso por ventas es inferior al costo de publicación), por tanto, no habría ganancias.

Por ello, si se vende más de 2000 ejemplares

Ingresos= 30x+0,20•30x = 36x (si estamos en el caso a) Ingresos= 30x+ 0,20• 30•(x-2000) = 36x - 12000 (caso b)

Supongo que se quiere una GANANCIA (no un ingreso) de al menos $1000 semanales

==> Ganancias= 36x-35x= x>=100000 (¡ojo! las ganancias son el centavos, el caso a) Ganancias= 36x-12000-35x= x-12000>=100000 <-->(x>=112000 ejemplares en el caso b)


http://es.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090225123245AAyOblS


C FUNCIONES Y GRÁFICAS

C.1 Diferencia entre función y relación

Funcion: Es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades.

Relación: implica la idea de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas. Cuando se formula una expresión que une dos o más objetos hacemos una relacion como por ejemplo

Conjunto A = 2 Conjunto B = 4 Funcion: Numeros pares


C.2 Distancia y punto medio

istancia y punto medio

La matemática es el estudio de las propiedades y las relaciones de entes abstractos a partir de notaciones básicas exactas y a través del razonamiento lógico.

El Punto medio es el proceso por el cual el segmento de una línea se divide en dos o mas partes iguales. Por ejemplo:

Ejemplo1.jpg

En donde: M, esta representando el punto medio de ese segmento de un a línea recta. La formula que se presentara es la necesaria para poder averiguar el punto medio de una recta:

Punto medio :

Punto medio.jpg


Por otra parte la distancia la podemos describir como, la proximidad y lejanía de los objetos, o el intervalo de tiempo que pasa entre esos dos objetos.

La distancia se calcula, por medio de esta formula:

Distancia:

   	Distancia.jpg  	  	   

El punto medio tiene una estrecha relación con la distancia, ya que el punto medio es la distancia de cualquiera de los dos lados.

Ejemplos:

Hallar la distancia y el punto medio entre los puntos (-2,3) y ( 1,-1)

Solución:

   	Solucion.jpg  	  	   		 			 			 


Punto medio:

Punto medio..jpg


Distancia:


Distancia..jpg


Bibliografía:

http://es.wikipedia.org/wiki/Distancia

• www.pupr.edu/cpu/word/.../Punto%20medio%20y%20distancia.doc

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas



C.3 Gráfica de las funciones lineales dominio y rango

La forma de una función linesl es F(x)=mx+b donde m y b son números reales.m nos da la pendiente de la gráfica. Si m es igual a cero entonces la gráfica será una linea horizontal. Si m es positiva entonces la grafica será una linea en la que los valores de x son cada vez mayores, es decir creciente. Si m es negativa los valores de y para x irán disminuyendo, a esto se le llama pendiente decreciente. El valor b nos indica el punto en el cuál la recta se intersecta con el eje y. Para saberlo solo se debe buscar el punto (0,b). El doinio y rango de las funciones lineales son todos los números reales ya que culquier número real puede ser multiplicado y se le puede sumar otro número real y dará como resultado un número real.

Funciones lineales, pendiente e intersección.jpg
==

En esta imágen se pueden observar dos gráficas con la misma pendiente (rojo y azul) y dos gráficas que intersectan al eje Y en el mismo punto (verde y rojo).

Bibliografía

http://bc.inter.edu/facultad/ntoro/grafw.htm

C.4 Análisis de rectas en el plano ( Paralelas y perpendiculares )

Una recta, es un lugar geométrico en el que tomando dos puntos cualquiera en un plano, y al analizar la pendiente, da una constante.

Rectas paralelas Dos o mas rectas son paralelas cuando su pendiente es la misma, pero tienen diferente ordenada al origen.

Rectas perpendiculares Dos rectas son perpendiculares cuando se cruzan o interceptan entre ellas, dejando, en su punto de intersección, ángulos de 90 grados. Se puede definir si una recta es perpendicular a otra si al calcular las pendientes, una es la negativa de la otra.

Bibliografia http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADtica http://www.slideshare.net/borisarias11/lneas-perpendiculares


C.5 Cónicas Parábola, Circunferencia, elipse e hipérbola graficas, dominio y rango, focos, vértices, ecuación de las asìntotas y ecuación de la directriz

Se le llama secciones cónicas a la intersección de cualquier plano no vacío con un cono


Conicas.jpg


Circulo Un circulo es el conjunto de todos los puntos en un plano que equidistan de un punto fijo en el mismo plano, este punto fijo es el centro La ecuación estandar de la circunferencia es:


Formula circulo.jpg


en donde r es la distancia que existe entre cualquier punto de la circunferencia y su centro, y las coordenadas de su centro son (a,b)

nótese que el coeficiente de ambas cantidades del lado derecho tienen el mismo coeficiente,(en este caso 1). El dominio y el rango de una circunferencia comprenden desde su menor valor en el eje x y y hasta el mayor en ambos ejes.


Circulo.JPG


Elipse

Una elipse esta formada por todos los puntos que cuyas distancias hacia dos focos sumadas son constantes, a las líneas que van desde cada uno de estos focos hacia cada uno de los puntos se les llama radios focales. Las elipses poseen dos ejes que se interceptan en el centro de la elipse, uno de ellos, el que tiene mayor longitud, se conoce como mayor y el otro como menor, estos ejes son perpendiculares entre si y son intersecados por los puntos de las elipses en donde tienen sus extremos. Estos puntos en los que interseca la elipse al eje mayor y menor son llamados vértices La forma estandar de la ecuación para la elipse es:


Formula elipse.jpg


A diferencia de la circunferencia, los coeficientes de las expresiones en un lado de esta ecuación tienen diferentes coeficientes y del otro lado la igualdad es una constante:1.


Elipse.JPG


Cuando los focos estan sobre el eje x la elipse es horizontal, como esta. Cuando los focos están en el eje y es vertical. Una elipse se vuelve más “circular” conforme sus focos se encuentran proporcionalmente mas cerca, así sus ejes mayor y menor se parecen mas en dimensiones Para determinar la distancia de los vértices en una elipse tan solo se debe encontrar el coeficiente mas grande de x y y, sabiendo que la raíz de este numero mayor es a conocemos la distancia a los vértice: a y -a Para conocer la distancia a la que se encuentran los focos tan solo se debe restar la distancia del eje menor al cuadrado (b, el menor de los coeficientes de x y y) de la distancia del eje mayor al cuadrado (a), esta distancia al igual que la de los vértices se suma y se resta, después de sacarle la raíz cuadrada, a las coordenadas del centro, siempre respetando la dirección que sigue según el eje mayor. Nótese que cuando el cuadrado de la distancia al eje mayor (a) es el coeficiente de y la elipse es vertical y cuando a es el coeficiente de x es horizontal.

Hipérbola Es el conjunto de todos los puntos de un plano que al restar la distancia de cada uno de estos puntos a dos focos es constante. El punto medio que existe entre dos focos es el centro, la distancia a la que se encuentra cada punto de cada foco, radio focal y los dos puntos de la hiperbola mas cercanos al centro vértices. Formula elipse.jpg

A diferencia de la ecuación de una elipse, la de una hipérbola tiene un signo negativo e igualmente llamamos a la raíz del denominador mas grande, en este caso se determina a simple vista pues es el positivo. La formula para calcular el centro de la hipérbola es muy simple, solo se debe recordar que este es (p,q), la distancia del centro a los focos es c que es igual a la raíz del cuadrado de a mas el cuadrado de b. los vértices se encuentra a una distancia a del centro, nótese que la hipérbola es simétrica y los ejes x y y son sus ejes de simetría.


Hiperbole.JPG


En las hipérbolas existen asintotas que son rectas que conforme la grafica crece en x se acercan cada vez mas a estas rectas, en otras palabras, para que una recta sea una asuntota debe disminuir su distancia con una curva conforme el valor absoluto de x aumenta o bien se desplaza mas lejos del centro. La asíntota de una hipérbola se da por: Y=b/a*x y Y=-b/a*x, recuérdese que a es el denominador de la cantidad positiva y b el de la negativa y que cada hiperbola tiene dos asuntotas en el caso de que el centro estuviese trasladado a (n,m) solo se debe restar m a Y y N a x recuerdese que estas restas también son afectadas por el coeficiente b/a Cuando el eje de simetría de una Hipérbola esta a 45 grados de los ejes X y Y se dice que es una hipérbola rectangular y sus asuntotas son los ejes X y Y.

Parábola Es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de una recta fija llamada directriz y un punto fijo llamado foco en el mismo plano. Una parábola abre conforme la expresión elevada al cuadrado, si es X abre para arriba, si es positivo, y para abajo, si es negativo. En el caso de que Y estuviera elevada al cuadrado abre a la izquierda de ser negativo y la derecha de ser positivo. El foco y la directriz se encuentran a una distancia c del vértice que esta dado por p,q; y es igual a ¼ del coeficiente que acompañe al polinomio que no este elevado al cuadrado. La directriz se encuentra a –c distancia del vértice y el foco a c distancia. Se debe recordar que la directriz es una recta perpendicular al eje de simetría, por lo que solo tomara el valor del eje en el que no abra la parábola, Ejemplo: y=-3 si el foco de sta parábola fuera tres,0 se diría que esta parabola tiene un minimo, y sabriamos que abre hacia arriba. La forma estandar de la ecuación de una parabola es: (x-p)2 = 4c(y-q)


Parabola.jpg







C.6 Operaciones con funciones ( Suma, resta, Multiplicación y división )

Operaciones con Funciones


Una función “f” de un conjunto “x” en un conjunto “y” es una correspondencia matematica denotada para que cada elemento de “x” le corresponde un elemento de “y”. Se cumplen dos condiciones en las funciones que son: • Todos los elementos de “x” estan relacionados con los elementos de “y”. A esta condicion se le llama “Condicion de existencia”. • Cada elemento de “x” esta relacionado con un unico elemento de “y”. A esta condicion se le llama “Condicion de Unicidad”. Imagen: Todos los valores que tiene una variable dependiente de una variable independiente y que se vuelve en funcion.

La suma y resta de funciones se obtiene sumando sea “f” y “g” y asi se obtiene la imagen de esas dos funciones, de la misma manera se obtienen las imágenes de “f” y “g” con la diferencia que se restan. Como por ejemplo: f(x) = x +2 y g(x) = x2 + 1, la funcion suma de esto seria: (f + g) (x) = x + 2 + x2 + 1 = x2 + x + 3 y la resta seria: (f - g) (x) = x + 2 - x2 - 1 = - x2 + x + 1

En la division se dividen las dos funciones sean “f” y “g”, respectivamente se dividen f/g para encontrar las imágenes siempre que la imagen de “g” sea diferente a 0 ya que no esta definida. Por ejemplo: f(x) =x3 + 2 y g(x) = x2. La division f/g seria:


En la multiplicación de funciones unicamente se multiplican las imágenes sean “f” y “g” para obtener la imagen de ambas. Por ejemplo: f(x) = x + 2 y g(x) = x2 , la funcion de producto seria: (f •g) (x) = (x + 2) • x2 = x3 + 2x2


C.7 Composición de funciones

En Matemáticas, una función f de un conjunto X en un conjunto Y es una asignación o correspondencia matemática denotada por:

f:X-->Y

tal que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. También se usa llamar aplicaciones a las funciones.

Una función puede considerarse como un caso particular de una relación o de correspondencia matemática.

Foto mate 10.jpg















C.8 Función inversa

Cómo ya lo sabemos, una función es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. La recíproca, o función inversa es la función que existe cuando se le saca la inversa a la función f(h), siendo la nueva recíproca f-1(h).

La función inversa de una función muchas veces se confunde con la inversa de una función. La función inversa, cómo lo habíamos dicho, es f -1(h), mientras la inversa de una función es 1/f(h).

A continuación determinaremos cómo se determina la función inversa. Los únicos tres pasos principales consisten en; primero, determinar la ecuación escrita de la función en x e y. El segundo paso consistirá despejar la variable x en función de la variable y por medio de procedimientos algebraicos, y así poder complacer el tercer paso que consistirá en intercambiar las variables para encontrar la función inversa. Seguiremos con un ejemplo.

Cuando se tiene la función f(h)= ∜(h-1)

g = ∜(h-1)  g4 = h – 1  h = g4 + 1

Esto significa que:

f-1 (g) = g4 + 1

Bibliografía: http://www.vitutor.com/fun/2/a_5.html


D LOGARÌTMOS Y FUNCIONES

D.1 Propiedades y operaciones con logaritmos ( Multiplicación, división, potencia y raíz )

Propiedades de los logaritmos.

1El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

2El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

3El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.

4El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.

Operaciones de logaritmos

Modo de uso de la regla de cálculo Las operaciones matemáticas, salvo la suma y la resta, se simplifican mediante el uso de los logaritmos, de acuerdo con las siguientes propiedades:

'1'. El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores:

log (a · b) = log (a) + log (b)

'2'. El logaritmo de un cociente es la diferencia entre los logaritmos de dividendo y divisor:

log (a / b) = log (a) - log (b)

'3'. El logaritmo de una potencia es el logaritmo de la base, multiplicado por el exponente:

log (a b) = b · log (a)

'4'. El logaritmo de una raíz es el logaritmo del radicando, dividido por el índice:

D.2 Funciones logarítmicas y exponenciales

Función logarítmica. Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas. Como la notación f-1 se utiliza para denotar una función inversa, entonces se utiliza otra notación para este tipo de inversas. Si f(x) = bx, en lugar de usar la notación f-1(x), se escribe logb (x) para la inversa de la función con base b. Leemos la notación logb(x) como el “logaritmo de x con base b”, y llamamos a la expresión logb(x) un logaritmo.


Definición: El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base b para obtener a y. Esto es, si b > 0 y b es diferente de cero, entonces logb y = x si y sólo si y = bx.

Nota: La notación logb y = x se lee “el logaritmo de y en la base b es x”.

Ejemplos:

1) ¿A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25? Al exponente 2, ya que 52 = 25. Decimos que “el logaritmo de 25 en la base 5 es 2”. Simbólicamente lo expresamos de la forma log5 25 = 2. De manera que, log5 25 = 2 es equivalente a 52 = 25. (Observa que un logaritmo es un exponente.)

2) También podemos decir que 23 = 8 es equivalente a log2 8 = 3.


Nota: El dominio de una función logaritmo es el conjunto de todos los números reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los números reales. De manera que, log10 3 está definido, pero el log10 0 y log10 (-5) no lo están. Esto es, 3 es un valor del dominio logarítmico, pero 0 y -5 no lo son. '

Función Exponencial. La función exponencial (propiamente dicha) es una función matemática. Esta función exponencial se caracteriza porque los valores de la derivada de dicha función son iguales al valor de la propia función (siendo la función exponencial la única función no nula con esta propiedad). Toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales. Además la función exponencial es la función inversa del logaritmo natural. Esta función se denota equivalentemente como:

Donde e es la base de los logaritmos naturales. En términos generales, una función real F(x) es de tipo exponencial si tiene la forma

Siendo números reales. Se observa en los gráficos que si a > 1 la curva será creciente.

http://bc.inter.edu/facultad/Ntoro/logaw.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_exponencial


D.3 Ecuaciones exponenciales

Ecuación exponencial

Una ecuación exponencial se caracteriza porque en alguno de sus miembros hay una función exponencial. Para resolverla vamos a seguir los siguientes pasos: •Paso 1. Si los dos miembros de la igualdad tienen distinta base los reducimos a la misma base.Ejemplo: •Paso 2. Una vez que tenemos la misma base en los dos miembre igualamos los exponentes y resolvemos la ecuación.


D.4 Ecuaciones logarítmicas

Los logaritmos fueron inventados por un escoces llamado John Napier y publicadas en sus tablas en 1614. Estos eran denominados logaritmos naturales y se basaban en la relación entre sucesiones aritméticas y geométricas pero eran muy difíciles de utilizar. Un profesor londinense se intereso en el trabajo de Napier y convirtió las tablas en logaritmos comunes. Una ecuación logarítmica es la que contiene términos de la forma: ax, donde a es un numero real positivo distinto de 1.

Ejemplo: log_3⁡〖(4x-7)=2〗 log_3⁡〖(4x-7)=2〗

                                                                    4x-7=3^2
                                                                    4x-7=9
                                                                     4x=16
                                                                      x=4

Las ecuaciones logarítmicas deben trabajarse con sumo cuidado, verificar cada solución en la ecuación original y descartar todas las raíces poco comunes que se encuentren en la ecuación. Además hay que tomar en cuenta que en la expresión log_a⁡M a y M son digitos positivos y a no puede ser 1.

D.5 Problemas de aplicación con logaritmos

En el mundo hay muchos fenómenos que varían sobre ámbitos enormes. Un ejemplo son los terremotos. Cada día ocurren muchos terremotos alrededor del mundo, y aún, no escuchamos nada sobre ellos. Sin embargo, de vez en cuando, un terremoto fuerte ocasiona muchas muertes y destrucción masiva, debido a que es mucho más fuerte que los más débiles que ocurren frecuentemente.

Recordarás que la palabra logaritmo viene de la raíz griega logos, que significa “proporción” y arithmos, que significa “número”. Muchas escalas logarítmicas están basadas en proporciones numéricas. La escala que ha sido desarrollada para medir los terremotos se le conoce como la escala Richter que lleva el nombre del sismólogo americano Charles Richter (1900-1985). La fuerza de un terremoto medida por la escala Richter está dada por la expresión R = log 0 E I donde E es la intensidad de las vibraciones del terremoto medido y I0 es la intensidad de la unidad de un terremoto estándar. Esta unidad estándar es medida por un instrumento conocido como un sismógrafo, el cual detecta las vibraciones en la corteza terrestre. En efecto, la escala Richter es una medida comparativa, más que una medida absoluta. El día 14 de mayo de 1995, a las 18:28:25, el Servicio de Información Nacional de Terremotos de los Estados Unidos informó un terremoto en el sur de California que midió 3.0 en la escala Richter, pero, pocas personas se dieron cuenta de esto. 134 Anteriormente, ese mismo año, el día 17 de enero de 1995, un terremoto en Kobe, Japón, ocasionó sobre 2000 muertos y billones de dólares en daños. Éste midió 7.2 en la escala Richter. ¿Cuán más severo fue el terremoto de Kobe, que el del sur de California? De acuerdo a la definición de la escala Richter 3.0 = log 0 ECalifornia I ! "

  1. $
  2. $

% & y 7.2 = log 0 E Kobe I ! "

  1. $
  2. $

% & Escribiendo nuevamente estas ecuaciones usando la propiedad de los logs que dice log a b ! "

  1. $

% & = log a − log b, ahora tenemos dos ecuaciones nuevas 3.0 = log ECalifornia − log I0 y 7.2 = log EKobe − log I0 Cuando restamos las dos ecuaciones tenemos 7.2 − 3.0 = log EKobe − log I0 − (log ECalifornia − log I0) 4.2 = log EKobe − log I0 − log ECalifornia + log I0 4.2 = log EKobe − log ECalifornia Usando ahora la misma propiedad de los logaritmos inversamente, 4.2 = log E E Kobe California ! "

  1. $
  2. $

% & Por lo tanto, E E Kobe California = 104.2 Usa tu calculadora para confirmar que 104.2 = 15,849. De hecho, EKobe = 15,849 ECalifornia El terremoto de Kobe tuvo una intensidad de 15,849 veces mayor que el terremoto de California. ¡Esta es la razón por la cual el terremoto de Kobe estuvo en las noticias nacionales! Debido a que la escala Richter es una escala logarítmica, las diferencias pequeñas en los valores Richter (7.2 a 3.0, por ejemplo) se traducen en diferencias enormes en la intensidad de los terremotos. Otras dos escalas logarítmicas usadas comúnmente son la escala de decibelio y la escala pH. 135 La escala de decibelio D = 10 log R I I donde I es la intensidad de la cantidad siendo medida, IR es la intensidad del valor de referencia, y D es la cantidad de decibelios.

Bibliografía:

http://www.its-about-time.com/htmls/mc/mc_spanish/b3ch2_pdfs/2_10.pdf

http://www.scribd.com/doc/8079143/Aplicacion-de-Los-Logaritmos

E TRIGONOMETRÌA Y GEOMETRÌA

E.1 Medición de ángulos

Juan Pablo Maldonado 18-08-09


Matemáticas: Medición de ángulos (Trigonometría, y geometría).

Dos de los métodos más comunes para medir ángulos, son la trigonometría, y la geometría. A continuación explicare de manera detallada los distintos procesos conllevados para poder medir los ángulos.

Trigonometría: La trigonometría es una rama de las matemáticas que mide los triángulos. Un triangulo es una figura geométrica que tiene tres lados, y tres ángulos. En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa e indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos los ámbitos donde las medidas de precisión son requeridas. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.

Geometría: es una rama de la matemática al igual que la trigonometría, que se ocupa de las propiedades de las figuras geométricas en planos cartesianos y/o en el espacio. Instrumentos como el compás (brújula), y teodolito (aparato para medir topografías) se remontan al uso de la solución de problemas concretos relativos y a medidas de la justificación teórica de muchos instrumentos. A lo que se refiere esta es que gracias a la geometría estos aparatos pueden funcionar, ya que la geometría nos enseñan como son los puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, y superficies.

Bibliografía: Libro: Álgebra de valor, glosario de términos.


E.2 Gráficas de funciones trigonométricas

Se verán seis funciones trigonométricas:

• y= sen x

• y= cos x

• y= tan x

• y= csc x

• y= sec x

• y= cot x


Grafica de la función seno

La función de seno tiene periodo de 2∏, sólo hay necesidad de hacer una gráfica y= seno x en el intervalo [0, 2∏]. El resto de la gráfica tendrá reproducciones de esta parte.

Características de la función seno

1. El dominio es el conjunto de todos los números reales.

2. El rango consta de todos los números reales entre -1 y 1, inclusive.

3. La función seno es una función impar, como muestra la simetría de la gráfica con respecto al origen.

4. La función seno es periódica, con periodo 2∏.

5. Las intersecciones-x son…., -2∏, -∏, 0, ∏, 2∏, 3∏,…; la intersección –y es 0.

6. El valor máximo es 1 y ocurre en x=…, -∏/3, 3∏/2, 7∏/2, 11∏/2,…


Ejemplo

y= sen x


Graficas de la función coseno

Al igual que la función seno la función coseno tiene periodo 2∏.

Características de la función coseno

1. El dominio es el conjunto de todos los números reales.

2. El rango consta de todos los números reales entre -1 y 1, inclusive.

3. La función coseno es una función par, como muestra la simetría de la gráfica respecto del eje y.

4. La función coseno es periódica, con periodo 2∏.

5. Las intersecciones –x son …, -3∏/2, -∏/2, ∏/2, 3∏/2, 5∏/2,…; la intersección –y es

6. El valor máximo es 1 y ocurre en x= …, -∏, ∏, 3∏, 5∏, ….

Gráficas senoidales

Se les llama así a las gráficas de las funciones seno y coseno.

La gráfica de y= sen x comparada con la gráfica y= cos x, indica que la gráfica y= sen x es igual a la de y= cos x, posteriormente de un corrimiento horizontal de ∏/2 unidades a la derecha.

Figura 9

sen x= cos (x - ∏/2).

Los valores de las funciones y= A sen x y y= A cos x, donde A ≠0, siempre satisfacen las desigualdades.

-|A| ≤ A sen x ≤ |A| y -|A| ≤cos x ≤ |A| respectivamente.

El número |A| es la amplitud de y = A sen x o y = A cos x.

Figura 11

Si w>0, las funciones y= sen wx y y= cos wx tendrán un periodo T= 2∏/w. La razón de que ocurre esto, es que la gráfica y = sen wx se obtiene de la gráfica de y= sen x realizando una comprensión o un alargamiento el cual contiene un periodo de la gráfica de y = sen x realizando una comprensión o un alargamiento horizontal adecuado. Esta comprensión horizontal remplaza el intervalo [o, 2∏], el cual contiene un periodo de de la gráfica de y = sen x, por el intervalo [o, 2∏/w], el cual contiene un periodo de la gráfica de y= sen wx. Así, el periodo de las funciones y= sen wx y y = cos wx, w>0 es 2∏/w.

Figura 13

Si w <0 en y= sen wx o y= cos wx, utilizamos los hechos de que

sen wx= -sen (-wx) y cos wx = cos (-wx)

para obtener una forma similar en donde el coeficiente de x  es positivo. 

Si w>o , la amplitud y el periodo de y = A sen wx y y= A cos wx están dados por

Amplitud = |A| Periodo =T = 2∏/w


Desfasamiento

La gráfica de y = A sen wx, w>0, tiende aplitud |A| y periodo T = 2∏/w. Así, un periodo se puede obtener al variar x de 0 a 2∏/w o, en forma equivalente, cuando wx varía de 0 a 2∏.

Figura 20

La gráfica

y = A sen x (wx – φ)

donde w>0 y φ(letra griga phi) son números reales. La gráfica será una curva seno de amplitud |A|. Como wx – φ varíe de 0 a 2∏ obtendremos un periodo. Periodo que comienza cuando

wx – φ= 0 o x = φ/w

y termina cuando

wx – φ = 2∏ o x= 2∏/w + φ/w

figura 21

La gráfica de y= A sen (wx- φ) es igual a la gráfica de y = A sen wx, excepto que ha sido recorrida φ/w unidades (a la derecha si φ>0 y a la izquierda si φ<0). El número φ/w es el desfasamineto de la gráfica de y = A sen (wx – φ).

Para las gráficas de y= A sen (wx- φ) o y= A cos (wx- φ), w>0

Amplitud = |A|

Periodo =T =2∏/w

Desfasamiento= φ/w



Gráfica de la función tangente

La función tangente tiene periodo ∏. La gráfica solo se debe determinar en un intervalo e longitud ∏. El resto de la grafica carece de repeticiones de este intervalo.

Se debe analizar el comportamiento de la función cuando x tiende a -∏/2 y ∏/2. Sin embargo, se debe tener cuidado con y= tan x porque no está definida en estos números. Para determinar dicho comportamiento utilizamos la identidad.

Tan x= sen x/cos x

Si x está cerca de 2/∏ pero sigue siendo menor, sen x estará cerca de 2 y cos x estará cerca a 0. El cociente (sen x/ cos x) sera positivo y grande.

Si x está mas cerca a ∏/2, sen x se acerca a 1 y cos x se acerca a 0, de modo que tan x tiende a ∞. Visto de otra manera, la recta vertical x= -∏/2 es una asíntota vertical de la gráfica de = tan x.

Si x es próximo a -∏/2 pero aun es menor, sen x se acerca a -1 y cos x será positivo y próximo a 0. El cociente (sen x)/(cos x) tiende a -∞. Visto de otra manera, la recta vertical x= -∏/2 también es una asíntota vertical de la gráfica.

Con estas observaciones se pude completar un periodo y alcanzar la gráfica de y = tan x repitiendo este periodo.

Figura 34

Características de la función tangente

1. El dominio es el conjunto de todos los números reales, excepto los múltiplos impares de ∏/2.

2. El rango consta de todos los números reales.

3. La función tangente es una función impar, como nos muestra la simetría de la gráfica con respecto al origen.

4. La función tangente es periódica, con periodo ∏.

5. Las intersecciones –x son …, -2∏, -∏, 0, ∏, 2∏, 3∏,...; la intersección –y es 0.

6. Las asíntotas verticales ocurren en x =…, -3∏/2, -∏/2, ∏/2, 3∏/2, …



Las gráficas de y = csc x, y = sec x, y y = cot x

Funciones recíprocas se laes llama a las gráficas de las funciones cosecantes y secante, se hacen con las identidades recíprocas

csc x= 1 /sen x y sec x = 1 / cos x

El valor de la function csc y = csc x en un número dado x es igual al recíproco del valor correspondiente de la función seno, siempre que este último valor no sea igual a 0. Si el valor de sen x =0, en ese punto x, la función cosecante no está definida. De hecho, la gráfica de la función cosecante tiene asíntotas verticales en los múltiplos enteros de ∏.

Figura 36

y = csc x, -∞<x<∞, x distinto de los múltiplos enteros de ∏, |y|>1

Figura 38

y = sec x, -∞< x<∞, x distinto de los múltiplos impares de ∏/2, |y|≥1

De la gráfica de y =cot x se obtiene del mismo modo en que obtuvimos la de y =tan x. El periodo de y =cot x es ∏. La función cotangente no está definida para múltiplos enteros de ∏, nos concentraremos en el intervalo (0, ∏).

Cuando x tiende a 0 pero es mayor que 0, el valor de cos x será cercano a 1 y el valor de sen x será positivo y cercano a 0. Por lo tanto, el cociente (cos x)/(sen x) será positivo y grande, en la manera que cuando x tiende a 0, cot x tiende a ∞. En relación, cuando x tiende a ∏ con valores menores que ∏, el valor de cos x será cercano a -1 y el valor de sen x será positivo y cercano a 0. Por lo tanto, el cociente (cos x)/(sen x) = cot x será negativo y tenderá a -∞cuando x tiende a ∏.

Figura 39

y = cot x, -∞< x<∞, x distinto de los múltiplos enteros de ∏, -∞< y<∞.

Bibliografía

Precálculo. Cuarta Edición. Michael Sullivan. Person, Prentice Hall. Páginas 386 a la 41

E.3 Triángulos rectángulos

Un Triángulo Rectángulo es el que tiene uno de sus ángulos internos igual a un ángulo recto (90º). En consecuencia, sus otros dos ángulos internos son agudos (< 90º).

Los triángulos rectángulos son los más importantes entre los triángulos porque cualquier triángulo se puede dividir en 2 triángulos rectángulos. Esta característica hace que sean los triángulos más estudiados y sean la base de la trigonometría.

Los lados de un triángulos rectángulo tienen nombres específicos: los 2 lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto al ángulo recto (que es el más largo del triángulo) se llama hipotenusa.

Es en estos triángulos rectángulos en donde se aplica el Teorema de Pitágoras; además, a partir de estos triángulos se desarrollaron las Funciones Trigonométricas (Seno, Coseno, Tangente y sus Recíprocas).


Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

E.4 Ecuaciones e identidades trigonométricas


Ecuaciones Trigonometricas

Una ecuación trigonométrica es la ecuación en donde aparecen una o más funciones trigonométricas. En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo común de las funciones trigonométricas. Un buen metodo para este procedimiento es transformar la ecuacion usando equaciones trigonometricas. Una vez expresada la ecuación en términos de una sola función trigonométrica, se aplican los pasos usuales en la solución de ecuaciones algebraicas para despejar la función; por último, se resuelve la parte trigonométrica, es decir, conociendo el valor de la función trigonométrica de un ángulo hay que pasar a determinar cuál es ese ángulo.

Identidades Trigonometricas

Son igualdades que involucran funciones trigonométricas, verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).

Relación seno coseno cos² α + sen² α = 1

Relación secante tangente sec² α = 1 + tg² α

Relación cosecante cotangente cosec² α = 1 + cotg² α

E.5 Ley de senos y cosenos y problemas de aplicación

• LEY DE SENOS Y COSENOS:

La matemática es el estudio de las propiedades y las relaciones de entes abstractos a partir de notaciones básicas exactas y a través del razonamiento lógico. La ley de Senos y Cosenos, fueron descubiertas para el cálculo y funcionamiento del área especifica de matemáticas, como lo es: Trigonometría.

Entendemos que trigonometría, es la rama de la matemática que tiene como significado la medición de triángulos, como lo son los ángulos y los lados de dichos triángulos.

La ley de senos es aquella por la cual se relaciona tres igualdades los cuales siempre se cumplen entre los ángulos y los lados de cualquier triangulo.

La propiedad que se utiliza para resolver triángulos oblicuos la conocemos con el nombre de Ley de Cosenos.


El cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados multiplicado por el coseno del ángulo que forman.

• C2= A2+ B2- 2AB* CosC

• A2= C2+ B2- 2CB* CosA

• B2= A2+ C2- AB CosB

Bibliografía: Editar sección

http://es.wikipedia.org/wiki/Cotangente

http://www.scribd.com/doc/198857/Ley-del-seno-y-ley-del-coseno

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/medellin/nivelacion/uv00004/lecciones/unidades/generalidades/vectores/concepto/index13.htm

• Cuaderno 4to. Curso- Matemáticas. Jorge René Ramos



E.6 Áreas y perímetros de figuras principales (Triángulo, Cuadrado, Rectángulo, Circulo)

Triángulo Los triangulos estanformados por tres lados y tres ángulos que juntos suman 180. Sin importar que triangulo se utilize, si se tomaun duplicado exacto del mismo y se ordenan los dos de manera correcta (en algunos casos hay que dividir uno de los dos) se obtiene un rectángulo con base y altura igual a la del triangulo oiginal. Ya que el área de ese rectángulo es igual a base por altura y se utilizo dos triangulos iguales para construirlo podemos deducir que el área de cada uno de esos triangulos es iguala la mitad del área del rectángulo. De esta manera podemos decir que el área de cualquier triangulo es igual a un medio de su base por su altura (A=½BH). El perímetro de un triangulo siempre es igual a ala suma de todos sus lados.

Rectángulo El rectangulo es un cuadrilatero en el que todos los ángulos miden noventa grados. Su área es igual a base por altura (A=BH), tabién se puede decir como el producto de dos de sus lados adyacentes cualequiera. El perímetro de unrectángulo es igual al doble de uno de sus lados más el doble de cualquiera de sus lados adyacentes. El perímetro también se puede decir como la suma de todos sus lados.

Cuadrado El cuadrado es una clase especial de rectangulo en la que los cuatro lados miden exactamente lo mismo. El área de un cuadrado es igual a cualquiera de sus lados elevado a la dos (B=H; A=BB=HH=BH). El perímetro de un cuadrado es igual a cuatro veces cualquiera de sus lados ya que los cuatro lados miden lo mismo.

Circulo El circulo es una sucesión de puntos infinitos que se encuentran todos a la misma distancia de su centro; a esta distancia se le llama Radio. La relación entre la circunferencia y el radio es un número periódico llamado Pi que equivale más o menos a 3.1415. El Perímetro de un circulo es conocido cómo circunferencia. La circunferencia de un circulo es igual a dos veces el radio por Pi (C=2PiR). El Área de un circulo es igual al radio al cuadrado por Pi (A=Pi*(R)/\2).

Bibliografía http://www.telpin.com.ar/InternetEducativa/Proyectos/2007/GEOMETRIA/areasyperimetros.htm

E.7 Problemas de aplicación donde se utilicen las figuran anteriores

Triángulo Para saber cuánto vidrio se necesitaba para construir la pirámide que se encuentra frente al museo del Louvre el arquitecto tuvo que calcular el área de cada una de las caras de la pirámide. Para esto tuvo que multiplicar la altura de las caras por la base de las caras, y luego dividirlo a la mitad. Este resultado es la cantidad de unidades cuadradas de vidrio que se necesitan para cubrir cada una de las caras de la pirámide.

Cuadrado y Rectángulo Cuando se quiere cubrir el piso con Lozas es necesario calcular la cantidad de estas que se necesita. Para esto se multiplica la base por la altura del piso, y luego se divide dentro del área de una loza, este resultado es el número de lozas que se necesita para cubrir este espacio.

Circulo Cuando se necesita saber de que tamaño tiene que ser el vidrio para un reloj se debe de multiplicar el radio de la carátula del reloj al cuadrado por Pi. Este resultado es el área que debe de tener el vidrio del reloj.

E.8 Área superficial y volumen de figuras principales (Cubo, esfera, cilindro, cono, prismas y pirámides) y Problemas de aplicación donde se involucren las figuras anteriores.

Área superficial: Es la suma de las caras de una figura sólida. En el cubo se reduce a multiplicar la base por la altura (esta es el área de una cara) y luego multiplicar ese numero por seis (el numero de caras de un cubo) En el caso de la esfera se multiplica 4 veces el radio al cuadrado por Pi En el caso del cilindro se multiplica el perímetro del circulo por la altura y se obtiene el área de cada una de las bases. En el caso del cono se obtiene el área de la base y a esta se le suma el área de la generatriz (que podría entenderse como la hipotenusa) por “Pi” y el radio. En una pirámide se suma el área de cada una de sus caras y a esta se le suma el área de la base, si es una pirámide regular se multiplica el perímetro de la base por la altura y se divide dos, al resultado de esta operación se le suma el área de la base. En un prisma cualquiera se determina el área mediante la suma de la multiplicación del perímetro de cada sección recta por su arista lateral respectiva, esto mas la base por dos dan como resultado el área total. En un prisma recto se multiplica el perímetro por la altura y se le suma el área de la base por dos.

El conocimiento del área superficial de un objeto resulta muy útil en el mundo del día a día, conocer el área superficial de un objeto nos puede ayudar a conseguir la cantidad de pintura adecuada para cubrirlo totalmente (como al pintar una casa), también nos ayuda a calcular las dimensiones que deben tener las partes de un recipiente con determinadas características o bien la cantidad superficial de material que se emplea al hacer un lente de contacto.


Volumen Se refiere al espacio ocupado por un cuerpo En el caso del cubo tan solo se debe multiplicar tres veces por si mismo uno de los lados En el caso de la esfera reutiliza una formula muy simple 4/3 de “PI” por el radio al cubo En el caso del cilindro se obtiene el área de la base (“pi” por el radio al cuadrado) y se multiplica por la altura En el caso del cono y las pirámides se obtiene el área de la base, ya sea un circulo o cualquier polígono, se multiplica por la altura y se divide tres En un prisma se multiplica el área de la base por la altura

El concepto de volumen tiene muchas aplicaciones puede servirnos para calcular cuanta agua cabe en un vaso, o en una piscina, o bien conocer la masa de un objeto al solo conocer la densidad del material del que esta hecho.

Bibliografía Geometría plana y del espacio y trigonometría, T27-T30, Editorial Vosco Americana S.A. Bilbao, España, 1973


BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

1) Smith, et al. Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica. 1ª edición. Addison Wesley

2) Stewarr, Redlin, Watson. Precálculo 3ª edición. Editorial Thomson. México 2001

3) Swokowski, Cole. Álgebra con Trigonometría con Geometría Analítica. 9ª edición. Editorial Thomson México 1998.

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