Estadística

Estadística

Profesor: Pedro René Oliva Muralles

A CLASIFICACIÓN DE DATOS

A.1 Datos discretos y continuos, datos discretos simples: tablas de frecuencias, datos agrupados discretos o continuos: tablas de frecuencias, valores centrales de los intervalos y extremos superior e inferior de los intervalos. Tablas de frecuencias acumuladas para datos discretos agrupados y para datos continuos agrupados y curvas de frecuencias acumuladas.

Los datos discretos son aquellos que solo pueden tomar un conjunto finito de valores, generalmente valores enteros. La cantidad de libros en préstamo es un caso típico de variable discreta, pudiendo tomar los valores 0, 1, 2, 3….n.

Los datos continuos son aquellos que pueden tomar a prioridad un conjunto finito de valores. La mayoría de veces son magnitudes vinculadas a longitudes, superficies, volumen, edad, duración o peso. Pero por razones de medición se discretizan y ese valor observable representa un valor dentro de un intervalo teórico

Las tablas de frecuencia son tablas estadísticas que agrupan diversos valores de una variable, simplificando los datos.

Ejemplo

Una persona lanza una moneda 10 veces, y anota si el lado superior cae en cara (c) o sello (s). Los resultados del experimento se muestran a continuación:

C,S,S,C,C,S,S,C,S,C

Para simplificar estos datos hay que contar cuantas veces se repite cada lado de la moneda. Esta operación es conocida como “frecuencia absoluta”.

Una frecuencia absoluta (f) es el número de veces que se repita un valor dentro de un conjunto de datos.

El lado C ser repitió 5 veces y el lado S 5 veces. Enseguida la suma de las frecuencias equivalente al total de lanzamientos.

Hay dos tipos de tablas de frecuencias:

Tabla tipo A: Se caracterizan por manejar un conjunto pequeño de posibles resultados de una variable dentro de la muestra o población. Por lo general, su uso tiende al manejo de datos cualitativos o variables cuantitativas discretas.

Tabla tipo B: Suele ser utilizada cuando el número de resultados posibles que puede obtener una variable son tan amplios, que una Tabla tipo A haría muy poco en resumirlos (rango amplio).

Frecuencia Relativa (h): Equivale a la razón de la frecuencia de cada clase sobre el total de los datos.

h1= f1/n

La suma de la frecuencia relativa debe de dar 1 que es equivalente al 100% de los datos. 

Frecuencia absoluta acumulada (F): Presenta un saldo acumulado de las frecuencias.

F1 = Ff-1+f1

La última frecuencia absoluta acumulada debe coincidir con el tamaño de la muestra.

Frecuencia Relativa Acumulada (H): Presenta un saldo acumulado de las frecuencias relativas de cada intervalo de clase.

H1 = Hf-1+h1

Ejemplo de una Tabla tipo B.

En una encuesta de una empresa guatemalteca sobre 30 trabajadores, pretende mostrar que edad es la más representativa.

Se puede observar que la edad minima es 17 año y la máxima es 31 años.

La distancia entre ellos se le llama rango.

Rango (R)= Xmas –Xmin

R = 31 – 17

R= 14

Si se establece una tabla tipo A no se podrían resumir los datos. Para poder resumirlos hay que agrupar ciertos rangos de edades en intervalos llamados por la estadística intervalos de clases.

Intervalos de clase: Intervalos empleados en las Tablas de Frecuencias Estadísticas, los cuales contienen diversas medidas de una variable.

Consta de un límite inferior (Lm) y un límite superior (Ls).

Numero de intervalos (Nc): Cantidad de intervalos con los cuales se compone una tabla de frecuencia. }

Lo ideal es trabajar entre 5 y 15 intervalos de clase

Ancho del intervalo de Clase (A): Equivale a la diferencia entre el Límite superios (Ls) y el Límite inferior (Lm) de cada intervalo.

A=La-Lm

Su cálculo resulta de la división del Rango (R) entre el Número de Intervalos (Nc)

A= R/Nc

Según el ejemplo

R=14

Nc=√30=5.477 ≅6 intervalos

A = R/Nc= 14/6

A= 2.333

El ancho se debe ajustar para trabajar con el mismo número de decimales que en el conjunto de datos tratados. Como los datos son valores enteros (variable discreta), hay que aproximarlos al entero superior.

A≅3

Al ajustar el ancho, se tiene la necesidad de ajustar el rango, el valor menor y el valor mayor.

Ajustar el rango

R`=A*Nc

R`=3*6=18

El rango se incremento en cuatro años. Despues hay que sumar el incremento al valor máximo (Xmax`) o restará al valor mínimo (Xmin}). En este caso se opta por aumentar el valor Máximo y reducir el valor mínimo en dos.

Ajustar Valor máximo y mínimo

Xmax= 31 +2=33

Xmin= 17-2= 15

Este procedimiento permite encontrar los valores máximos y mínimos cuya resta será igual al nuevo Rango (R`).

R`=Xmax – Xmin =18

Se ponen los 6 intervalos de clase. El 15 es el valor mínimo ajustado (Xmin`). El Lm se halla sumándole el ancho al límite menor. El ultimo límite superior debe coincidir con el valor máximo.

Bibliografía

www.eubca.ed.uy/.../TEMA %202-Tablas%20de%20frec.%20y%20repr.%20graficas.doc

http://www.eumed.net/libros/2007a/239/2.htmhttp://www.eumed.net/libros/2007a/239/2.htm

bioestadística. Base para el análisis de las ciencias de la salud. Wayne W. Daniel.Uteha / Noriega Editores. B GRÁFICAS

B.1 Histogramas de frecuencias.

Los histogramas de frecuencias son graficas que representan un conjunto de datos que se utilizan para representar datos de una variable cuantitativa. En el eje horizontal se representan lo valores tomados por la variable, si en algún caso los valores considerados son continuos entonces la forma de representar estos datos es en intervalos de un mismo tamaño llamados clases. En el eje vertical de la grafica se representan los valores de las frecuencias de los datos. Las barras que se levantan sobre el eje horizontal hasta cierta altura representan la frecuencia. El manejo de la información cuando se usan histogramas se puede comparar tras un proceso de control que a medida que se crecen los valores tomados por la variable en cuanto a su frecuencia se crea la forma de una campana en las barras, esta es una de las distribuciones de datos mas importantes conocida como frecuencia normal o gaussiana.

Bibliografia: Cuaderno Estadistica 2008, www.google.com, www.branchingnature.org, www.matematica.50webs.com

B.2 Polígonos de frecuencias

Este gráfico se utiliza para el caso de variables cuantitativas, tanto discretas como continuas, partiendo del diagrama de columnas, barras o histograma, según el tipo de tabla de frecuencia manejada.

Pasos para hacer polígonos de frecuencia

-Crear un histograma o gráfico de columnas

-Luego empezar a Trazar líneas rectas entre los puntos medios de los techos de columnas contiguas.

Se observa que cada línea corta una porción de la columna, pero a su vez, agrega una porción adicional. Ambas porciones son iguales manteniendo el área global en el gráfico.

Bibliografia

http://www.eumed.net/libros/2007a/239/3b.htm

http://www.vitutor.net/2/11/poligonos_frecuencia.html

B.3 Diagramas de tallos y hojas.

Se toma como objetivo, al construir un diagrama de tallo y hojas, organizar un conjunto de datos, especialmente numéricos, por medio de una representación grafica, esquema o tabla que representa un fenómeno estadístico o informativo. El siguiente puede ser un ejemplo de un conjunto de números a organizar:

122, 143, 156, 162, 134, 122, 119, 136, 148, 160, 146, 154, 132,116, 153, 143, 129, 121, 143, 1554, 127, 118, 128, 120, 163, 156, 117, 128, 149, 135, 143, 167, 139, 121, 115, 163, 157, 138, 129, 143

Al examinar este conjunto de datos observamos que se encuentran algunos números en la decena que comienza con 110, otros en la decena que comienzan con 120, y así sucesivamente hasta la decena que comienza con 160. Para empezar a hacer el diagrama de tallo y hojas necesitaremos tener claro que el objetivo es organizar este conjunto de datos.

Para empezar a construir el diagrama tendremos que dividir cada número en dos partes: un tallo, tal como 12 (para la decena que comienza con 120), y una hoja, tal como 1 o 2. Para representar en el diagrama el primer dato del conjunto (122), escribiremos 12 en el tallo y 2 en la hoja, y así sucesivamente con todos los números de la decena que comienzan con 120 para posteriormente hacerlos con todas las decenas del conjunto, y así terminar el diagrama.

B.4 Diagramas de caja y bigotes.

Diagramas de caja y bigotes. Los diagramas de cajas y bigotes son representaciones gráficas de una distribución estadística unidimensional en las que se reflejan cinco parámetros: límite inferior, primer cuartil, mediana, tercer cuartil y límite superior. A partir de estos cinco parámetros se pueden obtener fácilmente otros dos: el rango y el rango intercuartílico. Además, también dan una medida de la simetría o asimetría de la distribución, del sesgo y de la dispersión. Se observa que:

     1.  El bigote de la izquierda es algo más corto que el de la derecha, lo que indica que las calificaciones de la cuarta parte más baja de la clase están algo más concentradas que las calificaciones de la cuarta parte que las tienen más altas.
     2.  También se observa que la parte izquierda de la caja, que corresponde a los alumnos que han obtenido calificaciones entre el 25% y el 50% es menor que la de la derecha, lo que indica que las calificaciones de estos últimos alumnos están más dispersas.
     3.   Es fácil ver que el rango es: Ls - Li = 9 – 3 = 6

Y el rango intercuartílico es: Q3 - Q1=6,5– 4,5 = 2 También se observa que la distribución es asimétrica y ligeramente sesgada hacia la derecha.

• http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0122-04/bigotes.html

B.5 Diagramas de sectores

Un diagrama de sectores se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se usa frecuentemente para las variables cualitativas. Los datos se representan en un círculo, de modo que el ángulo de cada sector es proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente.

El diagrama circular se construye con la ayuda de un transportador de ángulos.

Ejemplo En una clase de 30 alumnos, 12 juegan a baloncesto, 3 practican la natación, 4 juegan al fútbol y el resto no practica ningún deporte.

_______________Alumnos Ángulo

Baloncesto______12______124°

Natación________3_______36°

Fútbol__________9_______108°

Sin deporte_____6_______72°

Total___________30______360°

C MEDIDAS DE POSICIÓN Y DE TENDENCIA CENTRAL PARA SERIES SIMPLES Y DATOS AGRUPADOS:

C.1 Media, mediana y moda.

Media, mediana y moda MEDIA Es la medida de posición central más utilizada, la más conocida y la más sencilla de calcular, debido principalmente a que sus ecuaciones se prestan para el manejo algebraico, lo cual la hace de gran utilidad. Su principal desventaja radica en su sensibilidad al cambio de uno de sus valores o a los valores extremos demasiado grandes o pequeños. La media se define como la suma de todos los valores observados, dividido por el número total de observaciones.

Ecuación 5-1

Cuando los valores representan una población la ecuación se define como:

2. MEDIANA Con esta medida podemos identificar el valor que se encuentra en el centro de los datos, es decir, nos permite conocer el valor que se encuentra exactamente en la mitad del conjunto de datos después que las observaciones se han ubicado en serie ordenada. Esta medida nos indica que la mitad de los datos se encuentran por debajo de este valor y la otra mitad por encima del mismo. Para determinar la posición de la mediana se utiliza la fórmula

Ecuación 5-5

Para comprender este concepto vamos a suponer que tenemos la serie ordenada de valores (2, 5, 8, 10 y 13), la posición de la mediana sería:

MODA La medida modal nos indica el valor que más veces se repite dentro de los datos; es decir, si tenemos la serie ordenada (2, 2, 5 y 7), el valor que más veces se repite es el número 2 quien seria la moda de los datos. Es posible que en algunas ocasiones se presente dos valores con la mayor frecuencia, lo cual se denomina Bimodal o en otros casos más de dos valores, lo que se conoce como multimodal.

C.2 Percentiles, cuartiles y deciles.

Percentiles:

La etimología de la palabra proviene de per-cento (por ciento 100) y son también llamados centiles. Los percentiles son un parámetro estadístico que indica el porcentaje de individuos de una distribución que tiene un valor inferior a él. Un ejemplo claro seria el percentil 60, P60, representa un valor que esta por encima del 60% de los datos de la distribución. Es una medida muy útil en estadística que constituye una manera sencilla de presentar datos.

Cuartiles:

Los cuartiles son otra manera de presentar datos en el campo de la estadística que facilita mucho la manera de indicar rangos. La función de los cuartiles es partir en cuatro pedazos el 100% de los datos y representar un rango de esa manera siendo:

a. Q1= 25%

b. Q2= 50%

c. Q3= 75%

d. Q4= 100%

Se utiliza en parámetros de datos relativamente grandes para indicar que los datos se encuentran dentro de cierto rango de porcentajes.

Deciles:

Los tienen la misma función que los cuartiles con la única diferencia que parten el total de los datos en múltiplos de diez para delimitar mas el rango y que el resultado se vuelva mucho mas especifico. Es importante mencionar que de esta forma solo se puede tener múltiplos de 10 en los rangos para que el numero quede completo.

C.3 Media aritmética, grupo modal, mediana (percentil 50).

La Media Aritmética

En matemáticas y estadística, la media aritmética (también llamada promedio o simplemente media), de un conjunto finito de números, es igual a la suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos. Cuando el conjunto es una muestra aleatoria recibe el nombre de media muestral siendo uno de los principales estadísticos muéstrales. Expresada de forma más intuitiva, podemos decir que la media (aritmética) es la cantidad total de la variable distribuida a partes iguales entre cada observación. Por ejemplo, si en una habitación hay tres personas, la media de dinero que tienen en sus bolsillos sería el resultado de tomar todo el dinero de los tres y dividirlo a partes iguales entre cada uno de ellos. Es decir, la media es una forma de resumir la información de una distribución (dinero en el bolsillo) suponiendo que cada observación (persona) tendría la misma cantidad de la variable. También la media aritmética puede ser denominada como centro de gravedad de una distribución, el cual no es necesariamente la mitad. Una de las limitaciones de la media es que se ve afectada por valores extremos; valores muy altos tienden a aumentarla mientras que valores muy bajos tienden a bajarla, lo que implica que puede dejar de ser representativa de la población.

Modal

Una lógica modal es un sistema formal que intenta capturar el comportamiento deductivo de algún grupo de operadores modales. Los operadores modales son expresiones que califican la verdad de los juicios. Por ejemplo, la expresión "es necesario que" es un operador modal que califica de necesaria a la verdad de un juicio. En un sentido más restringido, sin embargo, se llama lógica modal al sistema formal que se ocupa de las expresiones "es necesario que" y "es posible que". Este artículo trata exclusivamente sobre este sistema formal. Otros sistemas de lógica modal conocidos son la lógica deóntica, la lógica temporal, la lógica epistémica y la lógica doxastica.

Mediana

En Estadística, una mediana es el valor de la variable que deja el mismo número de datos antes y después que él, una vez ordenados estos. De acuerdo con esta definición el conjunto de datos menores o iguales que la mediana representarán el 50% de los datos, y los que sean mayores que la mediana representarán el otro 50% del total de datos de la muestra. La mediana coincide con el percentil 50, con el segundo cuartil y con el quinto decil.

Bibliografía:

http://es.wikipedia.org/wiki/Media_aritm%C3%A9tica

http://www.eumed.net/cursecon/dic/oc/mediaritm.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_modal

http://es.wikipedia.org/wiki/Mediana_(estad%C3%ADstica)

D MEDIDAS DE DISPERSIÓN

D.1 Rango.

Rango En estadística descriptiva se denomina rango o rango estadístico al intervalo de menor tamaño que contiene a los datos; es calculable mediante la resta del valor mínimo al valor máximo; por ello, comparte unidades con los datos. Permite obtener una idea de la dispersión de los datos. • Ordena los números según su tamaño • Resta el valor mínimo del valor máximo.

D.2 Rango intercuartil.

El rango intercuartil es una medida de variabilidad adecuada cuando la medida de posición central empleada ha sido la mediana y él se define como la diferencia entre el Tercer Cuartil superior y el Primer Cuartil, es decir,

Rango Intercuartil = Q3 – Q1 (4)

Por ejemplo si consideramos los siguientes valores ordenados:

26, 33, 36, 39, 40, 40, (41), 42, 44, 45, 47, 47, 47, (48), 50, 51, 51, 53, 54, 54, (55), 57, 59, 61, 63, 66, 71,

los valores cuartiles se muestran entre paréntesis, es decir, 41, 48 y 55, donde, el segundo cuartil es simplemente la mediana. La dispersión calculada a través del rango intercuartil, es en este caso será,

55 - 41 = 14

D.3 Desviación típica (desviación estándar)

Desviación típica

“Es una medida de centralización o dispersión para variables de razón (ratio o cociente) de intervalo, de gran utilidad en la estadística descriptiva.” ¹

La desviación típica también llamada desviación estándar, tiene una relación estrecha junto a la varianza. La varianza es una medida de la dispersión de una variable aleatoria respecto a su esperanza.

La desviación estándar nos dice cuanto se aleja los valores puntuales del promedio en una distribución. La desviación estándar es, "el promedio de la distancia de cada punto respecto del promedio".²

Un grupo repetido de medidas, la desviación estándar es quien da la precisión de estas. Cuando se determina si un grupo de medidas concuerda con el modelo teórico, estas medidas son muy importantes, por que si la media de las medidas esta muy lejos de la predicción, entonces se dice que las medidas contradicen la teoría. La desviación estándar va a mostrar el grupo de datos alrededor de un valor central, ya sea la media o promedio.

“Por ejemplo, las tres muestras (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) y (6, 6, 8, 8) cada una tiene una media de 7. Sus desviaciones estándar son 8.08, 5.77 y 1.15, respectivamente. La tercera muestra tiene una desviación mucho menor que las otras dos porque sus valores están más cerca de 7.” ³

Desglose La desviación estándar (DS/DE), también llamada como desviación típica, es una medida de dispersión usada en estadística que nos dice cuánto tienden a alejarse los valores puntuales del promedio en una distribución. De hecho, específicamente, la desviación estándar es "el promedio de la distancia de cada punto respecto del promedio". Se suele representar por una S o con la letra sigma.

D.4 Diagramas de dispersión:

:D.4.1 Recta de ajuste óptimo dibujada por aproximación.

:D.4.2 Coeficiente de correlación de Pearson:

:D.4.3 Interpretación de las correlaciones positivas, negativas y nulas.

• Recta de ajuste optimo dibujada por aproximación.

• Coeficiente de correlación de Pearson.

• Interpretación de las correlaciones positivas, negativas y nulas.

Este temario tiene como principal objetivo explicar de una manera centrada las principales funciones de dichos temas. Un diagrama de dispersión es aquel en el que se descubre la existencia de una relación no diciendo acerca del grado de asociación o correlación entre dos variables.

Dicho diagrama tiene la particularidad que tiene situaciones en las cuales se puede, se debe, y donde no utilizar. En donde se aplica a todos los estudios en donde es necesario que analicen las relaciones entre los fenómenos o efectos, así también las relaciones de casualidad. Por ejemplo:

El coeficiente de correlación de Pearson se simboliza por medio de (r) en donde la fuerza de relación lineal entre dos variables cuantitativas se estudia por medio del cálculo, dicho coeficiente tiene que estar entre el rango de -1 y +1. Dicho procedimiento se mide por medio de la siguiente expresión:

En el r se interpreta por medio de varios casos, entre los cuales destacan:

• Si r es positiva, la correlación entre las variables es positiva y viceversa.

• Si r=0, no existe relación lineal entre las variables.

Los coeficientes de correlación tiene la particularidad de ser positivos o negativos, un positivo puede estar entre las variables X e Y, los cuales indican la tendencia a aumentar los valores de Y cuando aumentan los de Y.

Un coeficiente negativo se indica cuando los valores de Y disminuyen aumentando los de X, y así respectivamente con los de Y aumentando y los de X disminuyendo.

Bibliografía:

• http://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_correlaci%C3%B3n_de_Pearson

• http://www.bvs.sld.cu/revistas/est/vol40_3_03/f0103303.jpg

• Capitulo 10, Libro “Estadistica”

E REGRESIÓN LINEAL

E.1 Determinación de la ecuación de la recta.

La regresión lineal es un método que se utiliza para encntrar l relación entre un valor dependiente Y y valores independientes X y un valor aleatoreo E. Este método se puede expresar de la siguiente manera:

Donde Beta es un valor respectivo de cada X, P es el número de valores que hay y E es el valor aleatoreo. Se presupone que la regresión lineal siempre es una recta. El problema para encontrar la recta es encontrar los valores de Beta que son desconocidods. Para asignarlos se debe observar los demás valores y averiguar hacia donde tiende la ecuación. Como estos valores asignados a Beta son estimaciones entonces la regrasión lineal no coincide exactamente con los valores reales sino que también es una estimación. Se considera que los errores en la regresión lineal son independientes y que tienen una varianza constante. Además se considera que los errores tienen un esperanza matemática igual a cero y que el error total es la suma de todos los errores.

Bibliografía http://es.wikipedia.org/wiki/Regresi%C3%B3n_lineal

E.2 Método de mínimos cuadrados

El método de mínimos cuadrados, es una técnica que se utiliza para encontrar la función que mas se aproxime a los datos de acuerdo a cierto criterio.

La intención del método de mínimos cuadrados, es reducir al máximo la suma de los cuadrados de las diferencias ordenadas entre los puntos de una función, y los datos

Bibliografía http://html.rincondelvago.com/estadistica_1.html

E.3 Aplicaciones

La regresión lineal puede ultilizarse para verificar los resultados de una elección como fue el caso de las elecciones en Estados Unidos en el año 2000 en el condado de Palm Beach, Miami, al utilizar la regresión lineal los expertos pudieron determinar que durante las elecciones en este condado sucedió un error por parte de los votantes que se reconocio al poder verificar la falla estadística respecto a los demás condados de este estado llevando a los expertos a concluir que la forma en que se presentaba la información en las papeletas logro confundir a los votantes. Además de sus usos en las elecciones y verificación de la validez de los datos, Arthur Okun determino la llamada “ley de Okun” al descubrir que existía una relación lineal entre la tasa de desempleo y el crecimiento del producto interno Bruto real (PIB) por lo que la regresión lineal se puede usar también en el área del desempleo y crecimiento económico al poder predecir diferentes variaciones en el ambiente económico con cierto grado de certeza. La regresión lineal también puede ser usada en el campo del mercadeo para predecir el consumo, la demanda, la inflación, la producción y muchas otras cosas que guarden relación lineal.

F PROBABILIDADES

F.1. Combinatoria

Se define variaciones como n elementos tomados de m en m elementos escogidos de los n elementos de un conjunto, tomando en cuenta que dos grupos distintos si difieren en algún elemento o en el orden de colocación de ellos.

Si se pueden repetir los elementos se le llaman variaciones con repetición.

Si m=n se llaman permutaciones de n elementos.

Si el orden no importa se llaman combinaciones.

La combinatoria es muy útil para calcular los sucesos posibles y favorables, para trabajar la regla de Laplace. Aún mejor si el numero de sucesos es mayor.

Regla de Laplace: Se realiza un experimento aleatorio Su espacio muestral E tiene todos los sucesos elementales equiprobables.

La probabilidad de un suceso S es:

Imágen 1.Fuente:http://www.matemath.com/azar/p07.html

Imagen 2: Fuente: http://html.rincondelvago.com/probabilidades.html

Ejemplo

Calcular la probabilidad de sacar exactamente dos cruces al tirar una moneda cuatro veces.

Casos posibles:

Se tienen dos elementos, cruz y cara, y los tomamos de cuatro en cuatro, importando el orden.

Imagen 3. Fuente:http://www.vitutor.com/pro/2/a_10.htm

Casos favorables:

Tenemos 4 monedas y las tomamos de 2 en 2, sin importar el orden.

Imagen 4.Fuente: http://www.vitutor.com/pro/2/a_10.htm

Bibliografía

http://html.rincondelvago.com/probabilidades.html

http://www.matemath.com/azar/p07.html

http://www.vitutor.com/pro/2/a_10.html (ejemplo y otras imágenes)

F.2. Sucesiones y series

Sucesion: Una sucesión es el nombre matemático que se le da a una lista infinita de números. En una lista se puede hablar de primer termino, segundo termino etc. Y esto va a ser el numero que ocupan en la lista. Cada termino tiene un termino siguiente por lo que no puede haber un ultimo termino, a eso se le conoce como sucesión infinita.

Se puede definir de manera formal una sucesion como: Una sucesión de números reales es una aplicación de h de los numeros naturales N en el conjunto R de los numero reales. La imagen de n recibe el nombre de n-esimo o termino general de la sucesión.

Sucesiones y series pueden parecer lo mismo pero no lo son, las series son la suma de las sucesiones y se representa con el símbolo Σ que representa la suma de las sucesiones.

Por ejemplo:

Esto quiere decir que se deben de sumar los primeros cuatro terminos de la sucesion 2n+1 osea sumar (3,5,7,9)

3+5+7+9=24 Bibliografia: Cuaderno Estadistica 2008, www.google.com, www.branchingnature.org, www.matematica.50webs.com

F.3. N-ésimo término

Que es el N- esismo termino

El término n-ésimo de una sucesión es el que va acompañado de la letra que indica el valor del número en determinado término; por ejemplo si tenemos la sucesión S, en el término n, Sn , la segunda componente Sn que se denota por Sn , se llama término n-ësimo de la sucesión o término general.

PARA DETERMINAR UNA SUCESIÓN 

Primero se deben conocer los términos de una sucesión. Ya conociendo el término n-ésimo se deben establecer los términos que forman la sucesión. por ejemplo:

El término n-ésimo o general es:

Hay que tener en cuenta que para determinar el término n-ésimo de una sucesión es necesario conocer como mínimo cinco términos de esta y analizar qué transformación se les realizó a los números.

Bibliografía

http://correo.gfc.edu.co/estudiantes/anuario/2001/sistemas/andrea/node2.html

http://hbuitragor.googlepages.com/Sucesiones.pdf

F.4. Permutaciones

Una permutación de un conjunto de cualquier cantidad de objetos es un arreglo ordenado de los mismos con el objetivo de encontrar el número total de permutaciones del mismo conjunto.

Considerando un conjunto de 3 objetos, {A, B, C}. El objetivo será determinar de cuántas maneras distintas se pueden arreglar estos objetos. Podemos escoger cualquiera de los objetos para la primera opción del conjunto, dejando solamente dos para la segunda opción y para la tercera la restante. Por el principio fundamental de conteo, hay 3 * 2 * 1 posibles arreglos. El conjunto de todos los arreglos es {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA}.

Para generalizar lo anterior a n objetos. Para la primera opción hay n posibilidades, n – 1 para la segunda, n – 2 para la tercera, y así sucesivamente. Para la n-ésima opción hay una posibilidad .

Bibliografía:

• Álgebra, Trigonometría y geometría analítica; Pearson, Addison Wealey: Smith